三個十四階正交拉丁方的一個系列
原雲南大學66屆物理系學生
我們曾經找到一個正交拉丁方系列，它們是十四階的，每三個一組，在同一個組內的三個拉丁方彼此正交。例如：
這個系列的拉丁方有一個重要性質；我們可取除開第一列以外的任意一列，假設它是第j列（j=2，3
，。。。，14），並假設它的元素是aij
(i=1,2,…,14), 並且aij∈{1,2,…,14}.我們以第一列的元素爲被減數，第j列的元素爲減數，做模13的減法，讓一對對應元兩兩相減：
i-aij=ri
(mod 13)
{i=1,2,…,14}
除開減數或被減數爲1的情況，其他十二個差值將彼此不同，因此這十二個差值組成自然數1，2，。。。12。例如，取上面第一個拉丁方的第二列按此公式相減，我們有：
其中第一行每個元素爲被減數，第二行每個元素爲減數，第三行每個元素爲其上二元素相減得的差數，所謂“模13”的減法，即當被減數小於減數時，將被減數加以一個13，再來與減數相減。
假設任二相互正交拉丁方的第j列的一對同行對應元是aij ,bij,(i=1,2,…,14),aij,bij∈{1,2,…,14}。我們同樣做這種減法：
aij-bij=ri
(mod13)
(i=1,2,…,14)
同樣地，如果排除減數或被減數爲1的情況，其他十二對減得的差值將互不相同。例如取第一和第二拉丁方的第二列來做對應遠的減法，我們得到：
從上述性質我們用電腦找到了一個十四階正交拉丁方系列，它們共包括80組，每組包含三個相互正交拉丁方。此外，它們還有如下附加性質：
1．第一列元素是自然順序排列：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14。
2．在第一行中，除開第一個元素外，其餘元素是2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14的某一迴圈排列。
3．在除開第一行和第一列的13*13的區域中，平行於主對角線的斜線上，互不同行也不同列的十二個元素是2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14的某一迴圈排列。但其中有一線上元素全爲一。
4．在每列中，行編號等於這列第一元的值的這個元素是1。
5．在任二正交拉丁方的兩對應列中，包含十四對對應元，其中有兩對對應元包含元素“1”，而與“1”對應的二元素剛好相同。
由此可見，如果我們找到每個拉丁方的一個列，例如第二列，我們就能按照上述這些特徵作出整個完整的拉丁方。
下面是我們在電腦上找到的80組三個相互正交十四階拉丁方的完整系列。即有上面所述性質的拉丁方，全部在此系列中。我們只給出每一拉丁方第二列如下：
1， 21438DB5EC976A，3419CA5E6B728D，85ECA391D64B72
2， 21438DBE6C7A59，3419DA652BE87C，7B6E3C12A9D485
3， 21438DC5BE7A69，4391E82C7D5BA6，58CE17BA42963D
4， 2143D9B5EC7A68，439172EDC86BA5，B7E68AD35419C2
5， 214639DCE57BA8，CBA8275D49E163，E869D247AC53B1
6， 21468BE3D975AC，B7EA95326C1D84，C5B93A6427D1E8
7， 21468DB5E37AC9，85B2A361D4CE97，B7A36EDC581924
8， 21469CED857A3B，98652DC41EA7B3，EB59DA863742C1
9， 2146BE5C8D397A，98C543A21ED7B6，D7E8C943B6A512
10， 2146DC3B7EA958，97A5E3D61C2B84，E8D975B246CA31
11， 21473DCEB6A985，A6D58E94213B7C，D8B2953AE7C614
12， 2147D8C53E9B6A，85CA2461EBD379，CBA947D368E125
13， 2147EA6D3C85B9，8DC64B21AE5937，C5AE38B942716D
14， 2149836EDC57BA，63CBD197E825A4，C7B8E54A3D9162
15， 214A953DC76EB8，659C31EA827D4B，8DCB7A216935E4
16， 214B75CED8693A，A8E5D94C317B26，B6A28C935714ED
17， 214C7AD539E8B6，7D5BEC1962A384，85C2B7914E36AD
18， 214C8BE6D7A593，3415DAC279E8AB，C58B37642ED1A9
19， 214C8D9E57A3B6，A7D6E48B3125C9，C387B2EA65914D
20， 214CE9B763DA58，3417B5E9D268AC，5EB8149D37C26A
21， 214D9B538CE6A7，341B8EC5D97A62，BE7263DAC51498
22， 214D9CA7358EB6，7AC63B15D942E8，DB6A27E38C9415
23， 214DA85EC9637B，C398D26AE751B4，D7E6C985432B1A
24， 214DBA97E5863C，4D9163CB8E572A，79EC4B15AD2863
25， 214DCBA7639E85，341A8E59D276CB，D8C963EA752B14
26， 214EC9DA8637B5，7D59621C43EBA8，E5D69B83247AC1
27， 2153A9EC468DB7，946CE7B21835AD，DBE84C93A75216
28， 2153EA4DCB9768，6A8DC157B329E4，8D9B47216CE35A
29， 2157CA84E369BD，5C9314A2DB7E86，6AD9415B2EC873
30， 215984DC376BEA，49C1B36AD8E752，CB479D5E62A183
31， 2159C3A48E6DB7，63CB41DA72E985，DBEA984735C216
32， 215B39CE876D4A，8ED96A314C52B7，A7B32D8C519E64
33， 215B8A6E473D9C，94D8CB571362EA，A79D642B318EC5
34， 215D3BA96E47C8，7A26B915D438EC，E86BD5C4A79321
35， 215DB469CE37A8，4DA127C3B9E865，E8659B2437DAC1
36， 215DB4AC6937E8，64D7A1328EC5B9，7A2B631EDC9854
37， 215DCA83E79B64，6A87B1543C29ED，CBA3694E72D185
38， 215EA7D3C69B48，CB874352AED169，D472ECA985361B
39， 215EB4A9D637C8，89C6D751E32BA4，C792ED8B65A143
40， 215EB9C3A8764D，A8EB9247C16D53，D472AC3965EB18
41， 215ECB69D8473A，A8B52D37C19E46，C79D854A3E61B2
42， 2163B7C54EDA98，361C295DB4A8E7，7C5B941E826D3A
43， 2163DA94E7C5B8，361B24C95DAE87，79CA4B16D582E3
44， 21683BE947D5CA，361ACE57BD8492，BD87EC63A41925
45， 2168A4E5B37DC9，361AE94D8C57B2，B75DCE862913A4
46， 2168C74EB53A9D，361B4EA927D85C，5C431BEAD69287
47， 216ACEB4879D53，4A71B5E96D382C，7B5E6C1D392A84
48， 216D7B4C835AE9，3612CE8B59D4A7，DEA683B942751C
49， 216DA7BE4859C3，3612ECA9B4875D，A8479D35E16B2C
50， 2175C4AD836E9B，64C281D7EB53A9，EB28D946AC3571
51， 217A8E495C36BD，4A21C7B6ED8593，89B6A43127EDC5
52， 217BA853C649ED，9C2A6DB418E753，ED492A6B3C7581
53， 217CA536BD49E8，659D41C3A82E7B，C962BE84D7A153
54， 217D4BA9358E6C，7ADB381C5942E6，93A62C5D1E7B84
55， 217D6ECB8495A3，564913D27CEB8A，7C26DB1EA85394
56， 217EAD948B653C，5A261B3E7DC948，79BD3815AE42C6
57， 21836CEAD579B4，4351BA2D69E87C，8A6D9751243ECB
58， 21837CE95D6A4B，4351CA2D86E9B7，EBA7D48C693521
59， 218C7A5B3649ED，A6C9D487215E3B，ED5A9362CB7481
60， 218E3DA7B6C549，A64D8EC5219B73，BCE5A824D91637
61， 218EB4AC596D73，64E8A1D93572CB，D7A53C4B862E19
62， 21938E5CA6D47B，584C1DB6E7A293，D76594E32C8B1A
63， 2193C854DBE7A6，5C7A1429E6DB38，BE85D29C631A74
64， 2195AD3B876E4C，3912E8A7D5C46B，A7539ED4C186B2
65， 2196C5A3D874EB，A8E329C4B16D75，EBA9374C85D261
66， 2198AD357C6BE4，975EDCB614A832，B6EC824DA91573
67， 219C74EBA6835D，C37B25AE48D196，ED579B2483C6A1
68， 219CA7653ED8B4，3912E5DACB8746，DB4693C285EA17
69， 219D4AC57BE683，97CA2E8614DB35，BE82C73AD51964
70， 219EA7B635D8C4，5A7914D286CE3B，93C68D2E17A4B5
71， 21A384B5EC7D69，584B12CA7E693D，7B8AC31649D2E5
72， 21A7E4BD85C963，8D7C4B9136E5A2，BC2D985EA41736
73， 21A8B495E6C73D，79C2A513BE8D64，ED2B7A49C36851
74， 21A9B35C86D7E4，639B7124ED8AC5，985D4EA217C3B6
75， 21AEDB87C69543，6B983142ACE75D，9C25BA3D186E74
76， 21B3EAC968D574，5E7D14A2B3C986，D7E583B42CA619
77， 21B637CE8D594A，8EDB62A14C9357，D4E7AC85362B19
78， 21B79C3584DAE6，98E32DBA16C754，A48BE52C619D37
79， 21BD74A96E35C8，64A7D15E82C39B，8953BEC1762DA4
80， 21E7CA49B3685D，3E129D8B5C47A6，6AD981543ECB27。
以上A=11，B=12，C=13，D=14。
簡體字：
三个十四阶正交拉丁方的一个系列
我们曾经找到一个正交拉丁方系列，它们是十四阶的，每三个一组，在同一个组内的三个拉丁方彼此正交。例如：
这个系列的拉丁方有一个重要性质；我们可取除开第一列以外的任意一列，假设它是第j列（j=2，3 ，。。。，14），并假设它的元素是aij (i=1,2,…,14), 并且aij∈{1,2,…,14}.我们以第一列的元素为被减数，第j列的元素为减数，做模13的减法，让一对对应元两两相减：
i-aij=ri
(mod 13)
{i=1,2,…,14}
除开减数或被减数为1的情况，其它十二个差值将彼此不同，因此这十二个差值组成自然数1，2，。。。12。例如，取上面第一个拉丁方的第二列按此公式相减，我们有：
其中第一行每个元素为被减数，第二行每个元素为减数，第三行每个元素为其上二元素相减得的差数，所谓“模13”的减法，即当被减数小于减数时，将被减数加以一个13，再来与减数相减。
假设任二相互正交拉丁方的第j列的一对同行对应元是aij ,bij,(i=1,2,…,14),aij,bij∈{1,2,…,14}。我们同样做这种减法：
aij-bij=ri
(mod13)
(i=1,2,…,14)
同样地，如果排除减数或被减数为1的情况，其它十二对减得的差值将互不相同。例如取第一和第二拉丁方的第二列来做对应远的减法，我们得到：
从上述性质我们用计算机找到了一个十四阶正交拉丁方系列，它们共包括80组，每组包含三个相互正交拉丁方。此外，它们还有如下附加性质：
1．第一列元素是自然顺序排列：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14。
2．在第一行中，除开第一个元素外，其余元素是2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14的某一循环排列。
3．在除开第一行和第一列的13*13的区域中，平行于主对角线的斜线上，互不同行也不同列的十二个元素是2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14的某一循环排列。但其中有一线上元素全为一。
4．在每列中，行编号等于这列第一元的值的这个元素是1。
5．在任二正交拉丁方的两对应列中，包含十四对对应元，其中有两对对应元包含元素“1”，而与“1”对应的二元素刚好相同。
由此可见，如果我们找到每个拉丁方的一个列，例如第二列，我们就能按照上述这些特征作出整个完整的拉丁方。
下面是我们在计算机上找到的80组三个相互正交十四阶拉丁方的完整系列。即有上面所述性质的拉丁方，全部在此系列中。我們只给出每一拉丁方第二列如下：
1， 21438DB5EC976A，3419CA5E6B728D，85ECA391D64B72
2， 21438DBE6C7A59，3419DA652BE87C，7B6E3C12A9D485
3， 21438DC5BE7A69，4391E82C7D5BA6，58CE17BA42963D
4， 2143D9B5EC7A68，439172EDC86BA5，B7E68AD35419C2
5， 214639DCE57BA8，CBA8275D49E163，E869D247AC53B1
6， 21468BE3D975AC，B7EA95326C1D84，C5B93A6427D1E8
7， 21468DB5E37AC9，85B2A361D4CE97，B7A36EDC581924
8， 21469CED857A3B，98652DC41EA7B3，EB59DA863742C1
9， 2146BE5C8D397A，98C543A21ED7B6，D7E8C943B6A512
10， 2146DC3B7EA958，97A5E3D61C2B84，E8D975B246CA31
11， 21473DCEB6A985，A6D58E94213B7C，D8B2953AE7C614
12， 2147D8C53E9B6A，85CA2461EBD379，CBA947D368E125
13， 2147EA6D3C85B9，8DC64B21AE5937，C5AE38B942716D
14， 2149836EDC57BA，63CBD197E825A4，C7B8E54A3D9162
15， 214A953DC76EB8，659C31EA827D4B，8DCB7A216935E4
16， 214B75CED8693A，A8E5D94C317B26，B6A28C935714ED
17， 214C7AD539E8B6，7D5BEC1962A384，85C2B7914E36AD
18， 214C8BE6D7A593，3415DAC279E8AB，C58B37642ED1A9
19， 214C8D9E57A3B6，A7D6E48B3125C9，C387B2EA65914D
20， 214CE9B763DA58，3417B5E9D268AC，5EB8149D37C26A
21， 214D9B538CE6A7，341B8EC5D97A62，BE7263DAC51498
22， 214D9CA7358EB6，7AC63B15D942E8，DB6A27E38C9415
23， 214DA85EC9637B，C398D26AE751B4，D7E6C985432B1A
24， 214DBA97E5863C，4D9163CB8E572A，79EC4B15AD2863
25， 214DCBA7639E85，341A8E59D276CB，D8C963EA752B14
26， 214EC9DA8637B5，7D59621C43EBA8，E5D69B83247AC1
27， 2153A9EC468DB7，946CE7B21835AD，DBE84C93A75216
28， 2153EA4DCB9768，6A8DC157B329E4，8D9B47216CE35A
29， 2157CA84E369BD，5C9314A2DB7E86，6AD9415B2EC873
30， 215984DC376BEA，49C1B36AD8E752，CB479D5E62A183
31， 2159C3A48E6DB7，63CB41DA72E985，DBEA984735C216
32， 215B39CE876D4A，8ED96A314C52B7，A7B32D8C519E64
33， 215B8A6E473D9C，94D8CB571362EA，A79D642B318EC5
34， 215D3BA96E47C8，7A26B915D438EC，E86BD5C4A79321
35， 215DB469CE37A8，4DA127C3B9E865，E8659B2437DAC1
36， 215DB4AC6937E8，64D7A1328EC5B9，7A2B631EDC9854
37， 215DCA83E79B64，6A87B1543C29ED，CBA3694E72D185
38， 215EA7D3C69B48，CB874352AED169，D472ECA985361B
39， 215EB4A9D637C8，89C6D751E32BA4，C792ED8B65A143
40， 215EB9C3A8764D，A8EB9247C16D53，D472AC3965EB18
41， 215ECB69D8473A，A8B52D37C19E46，C79D854A3E61B2
42， 2163B7C54EDA98，361C295DB4A8E7，7C5B941E826D3A
43， 2163DA94E7C5B8，361B24C95DAE87，79CA4B16D582E3
44， 21683BE947D5CA，361ACE57BD8492，BD87EC63A41925
45， 2168A4E5B37DC9，361AE94D8C57B2，B75DCE862913A4
46， 2168C74EB53A9D，361B4EA927D85C，5C431BEAD69287
47， 216ACEB4879D53，4A71B5E96D382C，7B5E6C1D392A84
48， 216D7B4C835AE9，3612CE8B59D4A7，DEA683B942751C
49， 216DA7BE4859C3，3612ECA9B4875D，A8479D35E16B2C
50， 2175C4AD836E9B，64C281D7EB53A9，EB28D946AC3571
51， 217A8E495C36BD，4A21C7B6ED8593，89B6A43127EDC5
52， 217BA853C649ED，9C2A6DB418E753，ED492A6B3C7581
53， 217CA536BD49E8，659D41C3A82E7B，C962BE84D7A153
54， 217D4BA9358E6C，7ADB381C5942E6，93A62C5D1E7B84
55， 217D6ECB8495A3，564913D27CEB8A，7C26DB1EA85394
56， 217EAD948B653C，5A261B3E7DC948，79BD3815AE42C6
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